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Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) ist eine Menge von linearen Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen. Belegungen der Variablen, die alle Gleichungen erfüllen, werden Lösung des Gleichungssystems genannt. Ein lineares Gleichungssystem kann eindeutig lösbar sein, unendlich viele Lösungen besitzen oder auch unlösbar sein.

Inhalt

Definition
Darstellungsformen
Beispiele
Lösbarkeit & Lösungsmenge
Lösungsverfahren

Definition

Gegeben seien zwei natürliche Zahl $m,n \in \N$ sowie ein Körper $\mathcal{K}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) ist eine Menge von $m$ linearen Gleichungen mit $n$ Variablen $x_1,\ldots,x_n$.

\begin{align*} \begin{alignedat}{4} a_{11}x_1 &\ + &\ a_{12}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{1n}x_n &\ = &\ b_1 \\[0.5em] a_{21}x_1 &\ + &\ a_{22}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{2n}x_n &\ = &\ b_2 \\[0.5em] \vdots\quad &\ &\ \vdots\quad &\ &\ \ddots &\ &\ \vdots\quad &\ &\ \vdots\ \ \\[0.5em] a_{m1}x_1 &\ + &\ a_{m2}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{mn}x_n &\ = &\ b_m \end{alignedat} \end{align*}

Bei den Werten $a_{ij} \in \mathcal{K}$ handelt es sich um die Koeffizienten des linearen Gleichungssystems, bei den Werten $b_i$ um die rechte Seite der Gleichungen (für $1 \leq i \leq m$ und $1 \leq j \leq n$).

Bei Werten $x_1=\xi_1, \ldots, x_n=\xi_n$ handelt es sich um eine Lösung des linearen Gleichungssystems, falls sie alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Die Lösungen können unter anderem als Tupel $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n) \in \mathcal{K}^n$ dargestellt werden. Die Menge aller Lösungen bildet die Lösungsmenge.

Ein lineares Gleichungssystem heißt

homogen, wenn alle Werte $b_i$ gleich Null sind;
inhomogen, wenn mindestens einer der Werte $b_i$ ungleich Null ist.

Homogene lineare Gleichungssysteme besitzen stets mindestens die triviale Lösung $x_1=\ldots=x_n=0_\mathcal{K}$. Weitere Lösungen sind möglich. Inhomogene lineare Gleichungssysteme können lösbar, eindeutig lösbar oder auch unlösbar sein.

Darstellungsformen

Für lineare Gleichungssysteme existieren verschiedene, äquivalente Darstellungsformen, die bei Bedarf direkt ineinander überführt werden können.

Explizite Form eines linearen Gleichungssystems

Bei der expliziten Form eines linearen Gleichungssystems werden die Gleichungen explizit angegeben. Ein System mit $m$ Gleichungen und $n$ Variablen besitzt dann die folgende Form:

\begin{align*} \begin{alignedat}{4} a_{11}x_1 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{1n}x_n &\ = &\ b_1 \\[0.5em] \vdots\quad &\ &\ \ddots &\ &\ \vdots\quad &\ &\ \vdots\ \ \\[0.5em] a_{m1}x_1 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{mn}x_n &\ = &\ b_m. \end{alignedat} \end{align*}

Matrixform eines linearen Gleichungssystems

Bei der Matrixform eines linearen Gleichungssystems handelt es sich um eine Darstellung mithilfe der Matrizenmultiplikation. Hierbei werden die Koeffizienten eines Gleichungssystems mit $m$ Gleichungen und $n$ Variablen mithilfe einer $m \times n$ Matrix $A \in \mathcal{K}^{m \times n}$, der Koeffizientenmatrix, dargestellt. Beim Eintrag $a_{ij}$ der Koeffizientenmatrix handelt es sich um den Koeffizienten der Variable $x_j$ in der $i$-ten Gleichung. Die Variablen $x_1,\ldots,x_n$ werden mithilfe eines Vektors $x$ dargestellt; die rechte Seite des Gleichungssystems, also die Werte $b_1,\ldots,b_m$, werden analog mithilfe eines Vektors $b \in \mathcal{K}^m$ dargestellt. Es gilt:

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \\[0.5em] x &= {\bigr( x_1, \ldots, x_n \bigr)}^T \\[0.5em] b &= {\bigl( b_1, \ldots, b_m \bigr)}^T. \end{align*}

Für das lineare Gleichungssystem ergibt sich somit:

\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_m \end{pmatrix}.

Das Produkt der Koeffizientenmatrix $A$ und des Vektors $x$ der Variablen ergibt hierbei eine Spaltenmatrix, deren $i$-ter Eintrag der linken Seite der $i$-ten Gleichung entspricht.

Mithilfe der Matrixform kann ein lineares Gleichungssystem besonders elegant bzw. besonders kurz dargestellt werden:

\[ Ax=b. \]

Vektorform eines linearen Gleichungssystems

Bei der Vektorform eines linearen Gleichungssystems handelt es sich um eine Darstellung mithilfe von Vektoren. Hierbei werden die Koeffizienten eines Gleichungssystems mit $m$ Gleichungen und $n$ Variablen zu Vektoren $v_i$ zusammengefasst, die jeweils die Koeffizienten $a_{1i},\ldots,a_{mi}$ der Variablen $x_i$ beinhalten. Es gilt:

v_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_{m1} \end{pmatrix} \quad\ldots\quad v_n = \begin{pmatrix} a_{1n} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_{mn} \end{pmatrix}.

Diese Vektoren entsprechen den Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix der Matrixform und werden mit den Variablen $x_1,\ldots,x_n$ multipliziert. Mithilfe der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation von Vektoren ergibt sich für das lineare Gleichungssystem somit die folgende Darstellung:

x_1 \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_{m1} \end{pmatrix} + \ldots + x_n \cdot \begin{pmatrix} a_{1n} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_{m} \end{pmatrix}.

Oder in kurz:

x_1 v_1 + \ldots + x_nv_n = b.

Beispiele

Beispiel 1

Beim ersten Beispiel handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen, das in expliziter Form vorliegt.

\begin{align*} \begin{alignedat}{4} x_1 &\ + &\ x_2 &\ + &\ 2x_3 &\ = &\ 5 \\[0.5em] 2x_1 &\ + &\ 5x_2 &\ + &\ 7x_3 &\ = &\ 13 \\[0.5em] &\ &\ 3x_2 &\ + &\ 6x_3 &\ = &\ 9 \end{alignedat} \end{align*}

Das lineare Gleichungssystem kann alternativ auch in Matrixform dargestellt werden. Die Koeffizienten der Variablen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ bilden hierbei die Einträge der Koeffizientenmatrix.

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\[0.25em] 2 & 5 & 7 \\[0.25em] 0 & 3 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\[0.25em] x_2 \\[0.25em] x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\[0.25em] 13 \\[0.25em] 9 \end{pmatrix}

Das lineare Gleichungssystem kann ebenfalls in Vektorform dargestellt werden. Die Elemente des ersten Vektors entsprechen den Koeffizienten der Variable $x_1$, die Elemente des zweiten Vektors entsprechen den Koeffizienten der Variable $x_2$ und die Elemente des dritten Vektors entsprechen den Koeffizienten der Variable $x_3$. Die Vektoren stimmen mit den Spalten der Koeffizientenmatrix der Matrixform überein.

x_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 2 \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + x_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 5 \\[0.25em] 3 \end{pmatrix} + x_3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\[0.25em] 7 \\[0.25em] 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\[0.25em] 13 \\[0.25em] 9 \end{pmatrix}.

Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar und besitzt als einzige Lösung $x_1=2$, $x_2=-1$ und $x_3=2$.

Beispiel 2

Beim zweiten Beispiel handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen.

\begin{align*} \begin{alignedat}{4} x_1 &\ - &\ x_2 &\ + &\ 5x_3 &\ = &\ 5 \\[0.5em] &\ &\ x_2 &\ - &\ 3x_3 &\ = &\ -3 \end{alignedat} \end{align*}

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, die wie folgt dargestellt werden können:

x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}.

Beispiel 3

Beim dritten Beispiel handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und einer Variable.

\begin{align*} x_1 &= 3 \\[0.5em] 2x_1 &= 8 \end{align*}

Das Gleichungssystem ist unlösbar, da aus der ersten Gleichung $x=3$ und aus der zweiten Gleichung $x=4$ folgt. Es existiert somit kein Wert für $x$, der beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

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Lösbarkeit & Lösungsmenge

Bei einem Vektor $x$ handelt es sich um eine Lösung eines linearen Gleichungssystems, wenn $Ax=b$ gilt. Für die Lösbarkeit eines Systems über einem unendlichen Körper $\mathcal{K}$ existieren die folgenden Möglichkeiten:

es existiert keine Lösung, d. h., die Lösungsmenge entspricht der leeren Menge;
es existiert exakt eine Lösung, d. h., die Lösungsmenge besitzt genau ein Element;
es existieren unendlich viele Lösungen, d. h., die Lösungsmenge besteht aus unendlichen vielen Tupeln $(\xi_1,\ldots,\xi_n)$, die jeweils alle Gleichungen des Systems erfüllen.

Lösbarkeitskriterien (allgemein)

Für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems existieren verschiedene Kriterien, die exemplarisch im folgenden vorgestellt werden.

Ein lineares Gleichungssystem $Ax=b$ ist

eindeutig lösbar, falls der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|b)$ und der Anzahl $n$ der Variablen übereinstimmt, wenn also gilt: $\rg(A) = \rg(A|b) = n.$
lösbar (mit unendlich vielen Lösungen), falls der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|b)$ entspricht, wenn also gilt: $\rg(A) = \rg(A|b).$
nicht lösbar, falls der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|b)$ ist, wenn also gilt: $\rg(A) \lt \rg(A|b).$

Für quadratische lineare Gleichungssysteme, also für den Fall $m=n$, gilt darüber hinaus: Das Gleichungssystem ist

eindeutig lösbar, falls die Determinante der Koeffizientenmatrix $A$ ungleich Null ist, wenn also gilt: $\det(A) \neq 0_\mathcal{K}.$
lösbar (mit unendlich vielen Lösungen), falls die Determinante der Koeffizientenmatrix sowie alle Nebendeterminanten gleich Null sind. (Hinweis: Bei den Nebendeterminanten handelt es sich um die Determinanten derjenigen Matrizen, die dadurch entstehen, dass eine der Spalten der Koeffizientenmatrix durch den Vektor $b$ ersetzt wird.)
nicht lösbar, falls die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null ist und mindestens eine Nebendeterminante ungleich Null ist.

Darüber hinaus gelten die folgenden Eigenschaften:

Überbestimmte Gleichungssysteme, also Systeme mit mehr Gleichungen als Variablen, besitzen häufig keine Lösung. Ein Beispiel hierfür sind die folgenden beiden Gleichungen: $\begin{align*} x_1 &= 1 \\[0.5em] x_1 &= 2. \end{align*}$
Unendlich viele Lösungen können nur dann existieren, wenn das lineare Gleichungssystem weniger linear unabhängige Gleichungen als Variablen besitzt und wenn der zugrundeliegende Körper $\mathcal{K}$ unendlich ist. Ein Beispiel hierfür ist die folgende Gleichung: $\[ x_1 + x_2 = 42. \]$

Lösungsmenge (allgemein)

Bei der Lösungsmenge $L$ eines linearen Gleichungssystems handelt es sich um die Menge aller Vektoren $x$, für die $Ax=b$ gilt.

L = \Bigl\{ x \mid Ax=b \Bigr\}

Für die Lösungsmenge gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

Handelt es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem $Ax=0$, so ist die Lösungsmenge $L$ ein Untervektorraum des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$. In diesem Fall gilt für beliebige Lösungen $\xi_i \in L \subseteq \mathcal{K}^n$, dass auch alle Linearkombinationen $\sum \lambda_i\xi_i$ Lösungen des linearen Gleichungssystems sind (mit $\lambda_i \in \mathcal{K}$). Die Lösungsmenge wird in diesem Fall auch Lösungsraum genannt und entspricht dem Kern der Koeffizientenmatrix $A$.
Handelt es sich um ein inhomogenes lineares Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b \neq 0$, so ist die Lösungsmenge $L$ ein affiner Untervektorraum des Koordinatenraums $\mathcal{K}^n$. Dieser besitzt die Form $v+U$, wobei $U$ die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems $Ax=0$ und $v$ eine beliebige Lösung des inhomogenen Systems ist. Ein inhomogenes Gleichungssystem ist somit genau dann eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale Lösung – den Nullvektor – besitzt.

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems wird nicht verändert, wenn elementare Zeilenumformungen durchgeführt werden:

Vertauschen von zwei Zeilen (Gleichungen);
Multiplikation einer Zeile (Gleichung) mit einer von Null verschiedenen Konstanten;
Addition des Vielfachen einer Zeile (Gleichung) zu einer anderen Zeile (Gleichung).

Darüber hinaus gilt, dass sich die Lösungsmenge eines quadratischen Gleichungssystems nicht verändert, wenn dieses mit einer regulären Matrix multipliziert wird.

Lösbarkeitskriterien (erweiterte Koeffizientenmatrix)

Die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems kann verwendet werden, um Aussagen zur Lösbarkeit zu treffen. Hierzu muss die erweiterte Koeffizientenmatrix zunächst in Zeilenstufenform überführt werden – beispielsweise mit dem Gauß-Verfahren.

\left[\begin{array}{cccccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\[0.25em] 0 & a_{22} & \ldots & a_{2k} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.25em] 0 & \ldots & 0 & a_{kk} & \ldots & a_{kn} & b_k \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & 0 & \ldots & 0 & \vdots \\[0.25em] 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & b_m \end{array}\right]

Es sei angenommen, dass alle Koeffizienten $a_{ii}$ mit $1 \leq i \leq k$ ungleich Null sind. (Hinweis: Um exakt diese Form zu erhalten, sind gegebenenfalls Spaltenvertauschungen notwendig, die die Reihenfolge der Variablen verändern. Dies muss bei der Lösung berücksichtigt werden.)

Das lineare Gleichungssystem ist

eindeutig lösbar, falls alle $b_{k+1}, \ldots, b_m$ gleich Null sind (oder $k=m$ gilt) und darüber hinaus $k=n$ gilt, falls es in der Zeilenstufenform also genauso viele Variablen wie Nichtnullzeilen gibt;
lösbar (mit unendlich vielen Lösungen), falls alle $b_{k+1}, \ldots, b_m$ gleich Null sind (oder $k=m$ gilt) und darüber hinaus $k \lt n$ gilt, falls es in der Zeilenstufenform also mehr Variablen als Nichtnullzeilen gibt;
nicht lösbar, falls mindestens einer der Werte $b_{k+1}, \ldots, b_m$ ungleich Null ist.

Lösungsmenge (erweiterte Koeffizientenmatrix)

Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann darüber hinaus in reduzierte Zeilenstufenform überführt werden – beispielsweise mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus.

\left[\begin{array}{ccccccc|c} 1 & 0 & \ldots & 0 & a_{1,k+1} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\[0.25em] 0 & 1 & \ldots & 0 & a_{2,k+1} & \ldots & a_{2n} & b_2 \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\[0.25em] 0 & \ldots & 0 & 1 & a_{k,k+1} & \ldots & a_{kn} & b_k \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & 0 & 0& \ldots & 0 & \vdots \\[0.25em] 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & b_m \end{array}\right]

Ist das lineare Gleichungssystem lösbar, so kann die Lösung bzw. die Lösungsmenge $L$ an der reduzierten Zeilenstufenform direkt abgelesen werden.

L = \left\{ \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_k \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} -a_{1,k+1} & -a_{1,k+2} & \ldots & -a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] -a_{k,k+1} & -a_{k,k+2} & \ldots & -a_{kn} \\[0.25em] 1 & 0 & \ldots & 0 \\[0.25em] 0 & 1 & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\[0.25em] 0 & \ldots & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} s_{k+1} \\[0.25em] s_{k+2} \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] s_{n} \end{pmatrix} \right\}

Bei den Werten $s_{k+1},\ldots,s_{n} \in \mathcal{K}$ handelt es sich um die freien Variablen. (Hinweis: Diese existieren nicht, falls das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt.)

Lösungsverfahren

Ein lineares Gleichungssystem kann mithilfe verschiedener Lösungsverfahren gelöst werden. Die meisten Verfahren basieren auf der Grundidee, schrittweise Variablen zu eliminieren, sodass Gleichungen mit weniger – im Idealfall nur noch einer einzigen – Variablen entstehen, die dann gelöst werden können. Gefundene Lösungen können anschließend verwendet werden, um durch Einsetzen in die anderen Gleichungen schrittweise auch die restlichen Variablen zu bestimmen.

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, das auf der Addition von Vielfachen einer Gleichung zu (Vielfachen) einer anderen Gleichung basiert. Die Grundidee des Verfahrens ist es, durch (mehrfache) geschickte Addition oder Subtraktion der Gleichungen Variablen, die in beiden Gleichungen vorkommen, zu eliminieren, indem sich diese gegenseitig aufheben.

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, das auf dem Umstellen einer Gleichung nach einer Variable und anschließendem Einsetzen der umgestellten Gleichung in die anderen Gleichungen basiert. Die Grundidee des Verfahrens ist es, hierdurch die Variable, nach der umgestellt wurde, zu eliminieren.

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, das auf dem Umstellen zweier Gleichung nach derselben Variable und anschließendem Gleichsetzen der beiden Gleichungen basiert. Die Grundidee des Verfahrens ist es, hierdurch die Variable, die gleichgesetzt wurde, zu eliminieren.

Gauß-Verfahren

Hauptartikel: Gaußsches Eliminationsverfahren

Beim Gaußschen Eliminationsverfahren handelt es sich um eine Verallgemeinerung bzw. Systematisierung des Additionsverfahrens. Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems aufgestellt und dieses anschließend durch wiederholte und systematische Addition der Zeilen (Gleichungen) in Zeilenstufenform überführt. Anschließendes Rückwärtseinsetzen liefert die Lösung des linearen Gleichungssystems.

Gauß-Jordan-Verfahren

Hauptartikel: Gauß-Jordan-Algorithmus

Beim Gauß-Jordan-Verfahren handelt es sich um eine Erweiterung des Gauß-Verfahrens, bei dem die erweiterte Koeffizientenmatrix nicht nur in Zeilenstufenform, sondern in reduzierte Zeilenstufenform überführt wird. Die Lösung kann anschließend direkt abgelesen werden.