Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz (bzw. die Assoziativität) beschreibt eine elementare mathematische Eigenschaft. Eine Verknüpfung heißt assoziativ, wenn die Auswertungsreihenfolge einer zwei- oder mehrfach direkt aufeinanderfolgenden Verknüpfung keine Rolle spielt, solange die Reihenfolge der zu verknüpfenden Elemente nicht geändert wird. Als direkte Konsequenz aus dem Assoziativgesetz kann der Ausdruck beliebig geklammert werden – ohne das Ergebnis zu verändern.
Das Assoziativgesetz gehört neben dem Kommutativgesetz und den Distributivgesetzen zu den grundlegenden Regeln der Algebra.
Definition
Der Begriff assoziativ wird in verschiedenen Zusammenhängen verwendet:
- Eine innere zweistellige Verknüpfung $\star: A \times A \rightarrow A$ auf einer Menge $A$ heißt assoziativ, wenn für alle Elemente $a,b,c \in A$ gilt: \[ \bigl( a \star b \bigr) \star c = a \star \bigl( b \star c \bigr). \]Genügt die Verknüpfung $\star$ dieser Eigenschaft nicht, so heißt sie nicht assoziativ.
- Eine zweistellige Funktion $f: A \times A \rightarrow A$ heißt assoziativ, wenn für alle Elemente $x,y,z \in A$ gilt: \[ f\bigl(f(x,y), z\bigr) = f\bigl(x, f(y,z)\bigr). \]Genügt die Funktion $f$ dieser Eigenschaft nicht, so heißt sie nicht assoziativ
Klammerfreie Notation
Da bei einer assoziativen Verknüpfung $\star$ die Auswertungsreihenfolge der Verknüpfungen – und somit auch die Klammerung – keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, kann eine vereinfachte klammerfreie Notation verwendet werden:
Allgemeines Assoziativgesetz
Für eine assoziative Verknüpfung $\star$ führt die mehrfache Anwendung der Verknüpfung stets zum selben Ergebnis – unabhängig von der Ausführungsreihenfolge der Verknüpfungen und der Klammerung des Ausdrucks. Dies wird als allgemeines Assoziativgesetz bezeichnet.
Die Verknüpfung von vier Elementen $a$, $b$, $c$ und $d$ kann auf die folgenden 5 Arten geklammert werden:
Die Verknüpfung von fünf Elementen $a$, $b$, $c$, $d$ und $e$ kann bereits auf 14 Arten geklammert werden:
Aufgrund der Unabhängigkeit von der konkreten Auswertungsreihenfolge können die obigen Beispiele auch ohne Klammern geschrieben werden:
Mit steigender Zahl der zu verknüpfenden Elemente steigt die Anzahl der möglichen Klammerungen rapide – sie kann mithilfe der Catalan-Zahlen bestimmt werden. Für die eindeutige Darstellung genügt jedoch in allen Fällen die klammerfreie Notation.
Beispiele
Reelle Zahlen
Die Addition $+$ und die Multiplikation $\cdot$ von reellen Zahlen $a,b,c \in \R$ sind assoziativ:
Die Subtraktion $-$, die Division $\div$ und das Potenzieren von reellen Zahlen sind im Allgemeinen nicht assoziativ:
Die Aussagen zur Assoziativität der Verknüpfungen von reellen Zahlen gelten in identischer Form auch für die Menge $\N$ der natürlichen Zahlen, die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen, die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen und die Menge $\C$ der komplexen Zahlen.
Mengen
Die Vereinigung $\cup$, der Schnitt $\cap$ und die symmetrische Differenz $\triangle$ von Mengen sind assoziativ. Für beliebige Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:
Die Differenz $\setminus$ und das kartesische Produkt $\times$ von Mengen sind im Allgemeinen nicht assoziativ:
Vektoren
Die Vektoraddition ist assoziativ. Für Vektoren $a,b,c \in V$ eines Vektorraums $V$ gilt:
Die Vektorsubtraktion und das Kreuzprodukt sind nicht assoziativ. Für Vektoren $a,b,c \in V$ eines Vektorraums $V$ gilt im Allgemeinen:
Matrizen
Die Matrizenaddition und die Matrizenmultiplikation über einem Ring oder über einem Körper ist assoziativ. Für Matrizen $A$, $B$ und $C$ gilt:
Die Matrizensubtraktion ist im Allgemeinen nicht assoziativ: