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Komplexe Zahlen

Bei den komplexen Zahlen handelt es sich um eine Erweiterung der reellen Zahlen, die es ermöglicht, Gleichungen zu lösen, die im Bereich der reellen Zahlen unlösbar sind, da sie beispielsweise auf Wurzeln aus negativen Zahlen hinauslaufen. Hierzu wird die imaginäre Einheit $i$ eingeführt, für die $i^2=-1$ gilt, und mit deren Hilfe die reellen Zahlen um eine imaginäre Komponente erweitert werden können.

Inhalt

Definition
Darstellung
Arithmetische Operationen
Eigenschaften
Formale Konstruktion

Definition

Bei einer komplexen Zahl handelt es sich um eine Zahl in der Form $z=a+ib$ bzw. $z=a+bi$. Bei den Werten $a$ und $b$ handelt es sich um reelle Zahlen und bei $i$ handelt es sich um die imaginäre Einheit, für die die folgende Eigenschaft gilt:

\[ i^2 = -1. \]

Die Darstellung $z=a+ib$ wird algebraische Form der komplexen Zahl $z$ genannt. Der Wert $a$ wird Realteil und der Wert $b$ wird Imaginärteil der komplexen Zahl genannt. Real- und Imaginärteil können wie folgt dargestellt werden:

\begin{align*} a &= \operatorname{Re}(z) = \Re(z) \\[0.5em] b &= \operatorname{Im}(z) = \Im(z). \end{align*}

Jede reelle Zahl $a$ kann durch eine komplexe Zahl $a+0i$ dargestellt werden, deren Imaginärteil $b=0$ ist. Die reellen Zahlen sind somit vollständig in den komplexen Zahlen enthalten. Eine rein imaginäre Zahl $ib$ bzw. $bi$ ist analog eine komplexe Zahl $0+ib$, deren Realteil $a=0$ ist.

Die Menge der komplexen Zahlen wird durch das Formelsymbol $\C$ dargestellt.

Darstellung

Komplexe Zahlenebene

Eine komplexe Zahl $z=a+ib$ in algebraischer Form kann mithilfe ihrer kartesischen Koordinaten $(a,b)$ als Punkt in der komplexen Zahlenebene (auch Gaußsche Zahlenebene) dargestellt werden. Die waagerechte Koordinatenachse $\Re$ entspricht hierbei dem Realteil der komplexen Zahl, die senkrechte Koordinatenachse $\Im$ entspricht dem Imaginärteil.

Darstellung einer komplexen Zahl in der komplexen Zahlenebene

Polarform

Hauptartikel: Polarform einer komplexen Zahl

Eine komplexe Zahl $z$ kann in der komplexen Zahlenebene alternativ zu ihrer Darstellung über die kartesischen Koordinaten $a$ und $b$ (dem Real- und Imaginärteil der Zahl $z=a+ib$ in algebraischer Form) auch mithilfe von Polarkoordinaten $r,\varphi \in \R$ mit $r \geq 0$ und $0 \leq \varphi \lt 2\pi$ durch den Ausdruck

z = r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr)

dargestellt werden. Der Wert $r$ bezeichnet hierbei den (absoluten) Betrag der komplexen Zahl $z$, während der Winkel $\varphi$ das Argument der komplexen Zahl $z$ genannt wird. Die Darstellung einer komplexen Zahl mittels (absoluten) Betrag und Argument wird Polarform der komplexen Zahl genannt. Aufgrund der Darstellung mit den trigonometrischen Funktionen wird diese Darstellung auch trigonometrische Form genannt.

Darstellung einer komplexen Zahl in Polarform

Unter Zuhilfenahme der Eulerschen Formel kann die Polarform einer komplexen Zahl $z$ auch mithilfe der Exponentialfunktion dargestellt werden. Diese Darstellung wird auch Exponentialform genannt. Für $r,\varphi \in \R$ mit $r \geq 0$ und $0 \leq \varphi \lt 2\pi$ gilt:

\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}

Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform

Arithmetische Operationen

Konjugation

Hauptartikel: Komplexe Konjugation

Bei der komplexen Konjugation handelt es sich um eine Abbildung der komplexen Zahlen auf sich selbst, die jeder komplexen Zahl $z$ eine komplexe Zahl $\overline{z}$ mit identischem Real- und negiertem Imaginärteil zuordnet. Es gilt (mit $a,b \in \R$):

\begin{align*} z &= a+ib \\[0.5em] \overline{z} &= a-ib. \end{align*}

Die Zahl $\overline{z}$ wird konjugiert komplexe Zahl (auch komplex konjugierte Zahl oder kurz Konjugierte) von $z$ genannt.

Addition

Hauptartikel: Addition von komplexen Zahlen

Gegeben seien zwei komplexe Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Beim Berechnen der Summe $z_1+z_2$ in algebraischer Form werden die Real- sowie die Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen addiert. Es gilt:

z_1 + z_2 = \bigl( a_1 + a_2 \bigr) + i \cdot \bigl(b_1 + b_2 \bigr).

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von komplexen Zahlen

Gegeben seien zwei komplexe Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Beim Berechnen der Differenz $z_1-z_2$ in algebraischer Form werden die Real- sowie die Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen subtrahiert. Es gilt:

z_1 - z_2 = \bigl( a_1 - a_2 \bigr) + i \cdot \bigl(b_1 - b_2 \bigr).

Multiplikation

Hauptartikel: Multiplikation von komplexen Zahlen

Gegeben seien zwei komplexe Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$) bzw. in Polarform (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] &= r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1) \bigr) \\[0.5em] &= r_1 \cdot e^{i\varphi_1} \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2 \\[0.5em] &= r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2) \bigr) \\[0.5em] &= r_2 \cdot e^{i\varphi_2}. \end{align*}

Beim Berechnen des Produkts $z_1 \cdot z_2$ in algebraischer Form werden die beiden komplexen Zahlen ausmultipliziert und anschließend zusammengefasst. Es gilt:

z_1 \cdot z_2 = \bigl( a_1a_2 - b_1b_2 \bigr) + i \cdot \bigl( a_1b_2 + a_2b_1 \bigr).

Beim Berechnen des Produkts $z_1 \cdot z_2$ in Polarform werden die Beträge der beiden Zahlen multipliziert und die Argumente addiert. Es gilt:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= r_1 \cdot r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1+\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1 + \varphi_2) \bigr) \\[0.5em] &= r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i \cdot (\varphi_1+\varphi_2)}. \end{align*}

Division

Hauptartikel: Division von komplexen Zahlen

Gegeben seien zwei komplexe Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$) bzw. in Polarform (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] &= r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1) \bigr) \\[0.5em] &= r_1 \cdot e^{i\varphi_1} \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2 \\[0.5em] &= r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2) \bigr) \\[0.5em] &= r_2 \cdot e^{i\varphi_2}. \end{align*}

Das Berechnen des Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ in algebraischer Form geschieht wie folgt:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \cdot \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}.

Beim Berechnen des Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ in Polarform werden die Beträge der beiden Zahlen dividiert und die Argumente subtrahiert. Es gilt:

\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1}{r_2} \cdot \bigl( \cos(\varphi_1-\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1 - \varphi_2) \bigr) \\[0.5em] &= \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i \cdot (\varphi_1-\varphi_2)}. \end{align*}

Potenz

Hauptartikel: Potenzieren von komplexen Zahlen

Gegeben sei eine komplexe Zahl in algebraischer Form (mit $a,b \in \R$) bzw. in Polarform (mit $r,\varphi \in \R$):

\begin{align*} z &= a + ib \\[0.5em] &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}

Für natürliche Exponenten $n$ kann die Potenz $z^n$ in algebraischer Form durch Ausmultiplizieren oder mithilfe des binomischen Lehrsatzes berechnet werden. Mithilfe der Definition $z^{-n} = \frac{1}{z^n}$ kann dies auf ganzzahlige Exponenten übertragen werden. Es gilt:

\begin{align*} z^n &= \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{n-k}{(ib)}^k} \\[0.5em] &= \sum\limits_{\begin{array}{c}k=0\\k\text{ gerade}\end{array}}^{n}{{(-1)}^{\frac{k}{2}} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k} + i \cdot \sum\limits_{\begin{array}{c}k=1\\k\text{ ungerade}\end{array}}^{n}{{(-1)}^{\frac{k-1}{2}} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k}. \end{align*}

In Polarform kann die Potenz $z^n$ mithilfe des Satzes von de Moivre bestimmt werden. Es gilt:

\begin{align*} z^n &= r^n \cdot \bigl( \cos(n\varphi) + i \cdot \sin(n\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r^n \cdot e^{in\varphi}. \end{align*}

Für natürliche und ganzzahlige Exponenten liefert der Satz von de Moivre stets die eindeutig bestimmte Potenz; für rationale, reelle oder komplexe Exponenten handelt es sich bei der Potenz um eine mehrwertige Funktion; der Satz von de Moivre liefert jedoch stets eine der Lösungen.

Wurzeln

Hauptartikel: Wurzeln einer komplexen Zahl

Gegeben sei eine komplexe Zahl in Polarform (mit $r,\varphi \in \R$):

\begin{align*} z &= r \cdot \bigl( \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi) \bigr) \\[0.5em] &= r \cdot e^{i\varphi}. \end{align*}

Für eine natürliche Zahl $n$ handelt es sich bei den $n$-ten Wurzeln der komplexen Zahl $z$ um die folgenden Werte $w_k$, für die stets $w_k^n=z$ gilt (mit $0 \leq k \lt n$):

\begin{align*} w_k &= \sqrt[n]{r} \cdot \left( \cos\left( \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right) + i \cdot \sin\left( \frac{\varphi+2\pi k}{n} \right) \right) \\[0.5em] &= \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \cdot \frac{\varphi+2\pi k}{n}}. \end{align*}

Eigenschaften

Absoluter Betrag

Der (absolute) Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl $z = a + ib$ (mit $a,b \in \R$) kann mithilfe der konjugiert komplexen Zahl $\overline{z}$ oder mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden. Es gilt:

\begin{align*} |z| &= \sqrt{z \cdot \overline{z}} \\[0.5em] &= \sqrt{a^2+b^2}. \end{align*}

Körper

Die Menge $\C$ der komplexen Zahlen bildet zusammen mit der Addition und der Multiplikation von komplexen Zahlen den Körper $\bigl(\C, +, \cdot\bigr)$ der komplexen Zahlen.

Anordnung

Der Körper der komplexen Zahlen kann nicht angeordnet werden.

Unter der Annahme, dass die komplexen Zahlen angeordnet werden können, muss wegen $i \neq 0$ eine der beiden Aussagen $i \lt 0$ oder $i \gt 0$ gelten:

Angenommen, es gelte $i \lt 0$: Multiplikation der Ungleichung mit dem (negativen) Wert $i$ liefert dann $i^2 \gt 0$. Ausrechnen von $i^2$ ergibt $-1 \gt 0$. Anschließende Addition von $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung liefert $0 \gt 1$ – im Widerspruch zur Anforderung $0 \lt 1$, die für jeden angeordneten Körper gelten muss.
Angenommen, es gelte $i \gt 0$: Multiplikation der Ungleichung mit dem (positiven) Wert $i$ liefert dann $i^2 \gt 0$. Ausrechnen von $i^2$ ergibt $-1 \gt 0$. Anschließende Addition von $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung liefert $0 \gt 1$ – im Widerspruch zur Anforderung $0 \lt 1$, die für jeden angeordneten Körper gelten muss.

Da weder $i = 0$, $i \lt 0$ noch $i \gt 0$ gilt, können die komplexen Zahlen nicht angeordnet werden.

Formale Konstruktion

Konstruktion mit Paaren von reellen Zahlen

Auf der Menge $\C = \R^2 = \R \times \R$ der geordneten Paare reeller Zahlen können eine Addition $+$ und eine Multiplikation $\cdot$ wie folgt definiert werden:

\begin{align*} \bigl( a_1,b_1 \bigr) + \bigl( a_2,b_2 \bigr) &:= \bigl( a_1+a_2, b_1+b_2 \bigr) \\[0.5em] \bigl( a_1,b_1 \bigr) \cdot \bigl( a_2,b_2 \bigr) &:= \bigl( a_1a_2 - b_1b_2, a_1b_2+a_2b_1 \bigr). \end{align*}

Die Menge $\C=\R^2$ bildet gemeinsam mit der so definierten Addition und Multiplikation einen Körper, der als der Körper $\bigl(\C,+,\cdot\bigr)$ der komplexen Zahlen bezeichnet wird:

Die Addition und Multiplikation ergeben stets Paare reeller Zahlen und sind somit abgeschlossen.
Die Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze für die Addition und Multiplikation lassen sich durch direktes Nachrechnen zeigen.
Die komplexe Zahl $0 = (0,0)$ ist das neutrale Element der Addition.
Die komplexe Zahl $1 = (1,0)$ ist das neutrale Element der Multiplikation.
Die komplexe Zahl $-z = (-a,-b)$ ist das additive Inverse der komplexen Zahl $z=(a,b)$.
Die komplexe Zahl $z^{-1} = \left( \frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2} \right)$ ist das multiplikative Inverse der komplexen Zahl $z=(a,b)$.

Bei der bijektiven Abbildung $\R \rightarrow \C$ mit $a \mapsto (a,0)$ handelt es sich um eine Einbettung der reellen Zahlen in den Körper der komplexen Zahlen, die es ermöglicht, jede reelle Zahl $a$ durch eine komplexe Zahl $(a,0)$ darzustellen.

Durch $i = (0,1)$ wird die imaginäre Einheit definiert; gemäß der Definition der Multiplikation gilt

i^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (-1,0) = -1,

woraus sich unmittelbar eine Möglichkeit zur formalen Darstellung der Wurzel von $-1$ mithilfe der (rein imaginären) komplexen Zahl $i$ ergibt – im Bereich der reellen Zahlen ist dies unmöglich.

Jede komplexe Zahl $z = (a,b) \in \C$ mit $a,b \in \R$ besitzt eine eindeutige Darstellung in der folgenden Form, die als algebraische Form einer komplexen Zahl bezeichnet wird:

\begin{align*} z &= \bigl( a,b \bigr) \\[0.5em] &= \bigl( a,0 \bigr) + \bigl( 0,b \bigr) \\[0.5em] &= a \cdot \bigl( 1,0 \bigr) + b \cdot \bigl( 0,1 \bigr) \\[0.5em] &= a + ib. \end{align*}

Konstruktion mit Matrizen

Der Körper $\C$ der komplexen Zahlen kann mithilfe von (reellen) $2 \times 2$ Matrizen sowie der gewöhnlichen Matrizenaddition und -multiplikation definiert werden. Es gilt (mit $a,b\in\R$):

\begin{align*} Z &= \begin{bmatrix} a & -b \\[0.25em] b & a \end{bmatrix} \\[0.5em] &= a \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\[0.25em] 0 & 1 \end{bmatrix}}_{=E} + b \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\[0.25em] 1 & 0 \end{bmatrix}}_{=I} \\[0.5em] &= a \cdot E + b \cdot I. \end{align*}

Die Einheitsmatrix $E$ bzw. $E_2$ entspricht hierbei der reellen Einheit $1$, die Matrix $I$ entspricht der imaginären Einheit $i$. Es gilt:

\begin{align*} \operatorname{Re}(Z) &= a \\[0.5em] \operatorname{Im}(Z) &= b \\[0.5em] I^2 &= -E \\[0.5em] \operatorname{abs}(Z) &= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\det{Z}}. \end{align*}