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Symmetrische Matrix

Bei einer symmetrischen Matrix handelt es sich um eine quadratische Matrix, die mit ihrer transponierten Matrix übereinstimmt. Eine symmetrische Matrix ist somit stets spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonalen.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring mit Eins oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Eine quadratische Matrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ wird symmetrische Matrix genannt, falls sie mit ihrer transponierten Matrix übereinstimmt:

\[ A = A^T. \]

Äquivalent hierzu ist eine quadratische Matrix symmetrisch, falls für alle Einträge $a_{ij}$ mit $1 \leq i \leq n$ und $1 \leq j \leq n$ die Gleichheit

a_{ij} = a_{ji}

gilt. Die Matrix ist somit spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonalen.

Beispiele

Beispiel 1

Die folgende Matrix $A_1 \in \Z^{2 \times 2}$ ist eine symmetrische Matrix.

A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\[0.25em] 3 & 7 \end{bmatrix}

Beispiel 2

Die folgende Matrix $A_2 \in \Z^{3 \times 3}$ ist symmetrisch.

A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\[0.25em] 2 & 0 & 7 \\[0.25em] 4 & 7 & 5 \end{bmatrix}

Beispiel 3

Die folgende Matrix $A_3 \in \Z^{2 \times 2}$ ist nicht symmetrisch, da $a_{12} \neq a_{21}$ gilt.

A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\[0.25em] 3 & 4 \end{bmatrix}

Spezielle symmetrische Matrizen

Diagonalmatrizen

Jede Diagonalmatrix $D \in \mathcal{R}^{n \times n}$ ist eine symmetrische Matrix, da alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind und somit $a_{ij} = 0_\mathcal{R} = a_{ji}$ für alle $i \neq j$ (mit $1 \leq i \leq n$ und $1 \leq j \leq n$) gilt.

\begin{align*} D &= \diag\bigl(d_1, d_2, \ldots, d_n\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} d_1 & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & d_2 & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & d_n \end{bmatrix} \end{align*}

Einheitsmatrix

Bei der Einheitsmatrix $E_n \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine symmetrische Matrix, da es sich um eine Diagonalmatrix handelt.

\begin{align*} E_n &= \diag\bigl(1_\mathcal{R}, \ldots, 1_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 1_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 1_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Nullmatrix

Bei der quadratischen Nullmatrix $0_{nn} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine symmetrische Matrix, da es sich um eine Diagonalmatrix handelt.

\begin{align*} 0_{nn} &= \diag\bigl(0_\mathcal{R}, \ldots, 0_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Skalarmatrix

Bei einer Skalarmatrix $S \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine symmetrische Matrix, da es sich um eine Diagonalmatrix handelt.

\begin{align*} S &= \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} \lambda & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & \lambda \end{bmatrix} \end{align*}

Eigenschaften

Einträge

Eine symmetrische Matrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ ist durch die $n$ Diagonaleinträge sowie die $\frac{n \cdot (n+1)}{2}$ unterhalb bzw. oberhalb der Hauptdiagonalelemente eindeutig charakterisiert und weist damit maximal

n + \frac{n \cdot (n-1)}{2} = \frac{n \cdot (n+1)}{2}

verschiedene Elemente auf – im Gegensatz zu bis zu $n^2$ verschiedenen Elementen bei nicht-symmetrischen quadratischen Matrizen.

Addition und Subtraktion

Die Matrizenaddition und die Matrizensubtraktion liefert für zwei symmetrische Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{n \times n}$ stets wieder eine symmetrische Matrix.

{\bigl( A \pm B \bigr)}^T = A^T \pm B^T = A \pm B.

Die Addition bzw. Subtraktion von symmetrischen Matrizen ist damit abgeschlossen.

Skalare Multiplikation

Die skalare Multiplikation einer symmetrischen Matrix liefert stets eine symmetrische Matrix.

{\bigl( \lambda \cdot A \bigr)}^T = \lambda \cdot A^T = \lambda \cdot A.

Die skalare Multiplikation von symmetrischen Matrizen ist damit ebenfalls abgeschlossen.

Matrizenmultiplikation

Die Matrizenmultiplikation liefert für zwei symmetrische Matrizen $A, B \in \mathcal{R}^{n \times n}$ im Allgemeinen keine symmetrische Matrix. Es gilt:

{\bigl( A \cdot B \bigr)}^T = B^T \cdot A^T = B \cdot A.

Beim Produkt $A \cdot B$ handelt es sich nur genau dann um eine symmetrische Matrix, wenn die Matrizen $A$ und $B$ bezüglich der Multiplikation kommutieren, wenn also $A \cdot B = B \cdot A$ gilt.

Die Produkte $A \cdot A^T$ und $A^T \cdot A$ sind hingegen für jede Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ stets symmetrisch; es gilt:

\begin{align*} {\bigl( A^T \cdot A \bigr)}^T &= A^T \cdot {\bigl( A^T \bigr)}^T = A^T \cdot A \\[0.5em] {\bigl( A \cdot A^T \bigr)}^T &= {\bigl(A^T \bigr)}^T \cdot A^T = A \cdot A^T. \end{align*}

Potenzen

Für symmetrische Matrizen $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ und natürliche Zahlen $k \in \N$ gilt:

{\bigl( A^k \bigr)}^T = {\bigl( A^T \bigr)}^k = A^k.

Jede natürliche Potenz einer symmetrischen Matrix ist folglich selbst eine symmetrische Matrix.

Inverse Matrix

Falls eine symmetrische Matrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ invertierbar ist, so ist auch die inverse Matrix $A^{-1}$ symmetrisch:

{\bigl( A^{-1} \bigr)}^T = {\bigl( A^T \bigr)}^{-1} = A^{-1}.

Hinweis: In Kombination mit dem vorherigen Abschnitt über Potenzen von symmetrischen Matrizen ergibt sich hieraus, dass auch Potenzen $A^{-k}$ mit $k \in \N$ wieder symmetrisch sind. Somit ist jede ganzzahlige Potenz einer symmetrischen Matrix wieder symmetrisch.

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix einer symmetrischen Matrix ist selbst symmetrisch; dies folgt unmittelbar aus der Definition einer symmetrischen Matrix.

Algebraische Eigenschaften

Aufgrund der Abgeschlossenheit der Menge der symmetrischen Matrizen bezüglich der Addition und der skalaren Multiplikation sowie der Eigenschaft, dass es sich bei der Nullmatrix um eine symmetrische Matrix handelt, handelt es sich bei den symmetrischen Matrizen um einen Untervektorraum des Matrizenraums $\mathcal{R}^{n \times n}$.

Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit

Für reelle symmetrische Matrizen $A \in \R^{n \times n}$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Alle Eigenwerte von $A$ sind reell.
Die zum jeweiligen Eigenwert gehörende algebraische und geometrische Vielfachheit stimmt für alle Eigenwerte überein.
Die Eigenvektoren zu den verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander.
Die symmetrische Matrix $A$ ist stets diagonalisierbar – es existiert eine reguläre Matrix $S \in \R^{n \times n}$ mit $A = S D S^{-1},$ wobei $D$ eine Diagonalmatrix der Eigenwerte ist.
Nach dem reellen Spektralsatz existiert sogar eine orthogonale Matrix $S \in \R^{n \times n}$, sodass $\[ A = S D S^T \]$ gilt. Die Matrix D ist wie zuvor eine Diagonalmatrix der Eigenwerte.