Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz (bzw. die Kommutativität) beschreibt eine elementare mathematische Eigenschaft. Eine Verknüpfung heißt kommutativ, wenn die Argumente der Verknüpfung vertauscht werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

Das Kommutativgesetz gehört neben dem Assoziativgesetz und den Distributivgesetzen zu den grundlegenden Regeln der Algebra.

Definition

Der Begriff kommutativ wird in verschiedenen Zusammenhängen verwendet:

• Eine innere zweistellige Verknüpfung $\star: A \times A \rightarrow A$ auf einer Menge $A$ heißt kommutativ, wenn für alle $a,b \in A$ das Kommutativgesetz gilt:
  \[ a \star b = b \star a. \]
• Eine zweistellige Funktion $f: A \times A \rightarrow B$ heißt kommutativ, wenn für alle $x,y \in A$ das Kommutativgesetz gilt:
  \[ f(x,y) = f(y,x). \]
• Eine Abbildung $\star: A \times B \rightarrow C$ heißt kommutativ, wenn für alle $a \in A$ und $b \in B$ das Kommutativgesetz gilt:
  \[ a \star b = b \star a. \]

Eine Verknüpfung, Funktion oder Abbildung, die die genannten Eigenschaften nicht erfüllt, heißt nicht kommutativ.

Beispiele

Reelle Zahlen

Die Addition und die Multiplikation von reellen Zahlen $a,b \in \R$ sind kommutativ:

Die Subtraktion, die Division und das Potenzieren von reellen Zahlen sind im Allgemeinen nicht kommutativ:

Die Aussagen zur Kommutativität der Verknüpfungen von reellen Zahlen gelten in identischer Form auch für die Menge $\N$ der natürlichen Zahlen, die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen, die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen und die Menge $\C$ der komplexen Zahlen.

Mengen

Die Vereinigung $\cup$, der Schnitt $\cap$ und die symmetrische Differenz $\triangle$ von Mengen sind kommutativ. Für beliebige Mengen $A$ und $B$ gilt:

Die Differenz $\setminus$ und das kartesische Produkt $\times$ von Mengen sind im Allgemeinen nicht kommutativ:

Vektoren

Die Vektoraddition ist kommutativ. Für Vektoren $a,b,c \in V$ eines Vektorraums $V$ gilt:

Die Vektorsubtraktion und das Kreuzprodukt $\times$ von Vektoren $a,b \in V$ eines Vektorraums $V$ sind nicht kommutativ:

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ. Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist nicht kommutativ.

Matrizen

Die Matrizenaddition über einem Ring oder über einem Körper ist kommutativ. Für Matrizen $A$ und $B$ gilt:

Die Matrizensubtraktion und die Matrizenmultiplikation sind im Allgemeinen nicht kommutativ:

Gruppentheorie

Eine Gruppe, bei der die Verknüpfung der Gruppenelemente kommutativ ist, wird abelsche Gruppe genannt.